デデキント カット。 実数の連続性(デデキントの切断)

直径2cmのボールは直径2cmの穴を通れますか?

デデキント カット

デデキントカットとは、の論において用いられる考え方である。 デデキント切断、あるいは切断とも呼ばれる。 この記事ではデデキントカットで統一する。 また、厳密な定義やこれを用いたさらなる計算等は棚上げし、「が苦手な人」「人」向けに書いてる事をまず了承してほしい。 概要 デデキントカットとは 要素が小さい順番にならんだRがあるとする。 これを「A」とAの全ての要素より大きい要素で構成された「B」に分ける 大きい方と小さい方の2群に分けるということ。 この様な A,B をRの デデキントカットと呼ぶ。 これを デデトの()と呼ぶ。 (元とは、要素と同じ意味である。 別の表現をするなら数直線を2つに切ると、の一方は開区間、もう一方は閉区間になるということである。 Aに関する言説だけを見ると、Aとして「1と2とと、4〜5の間全部と……」という具合に、好き勝手なのを選べそうに見える。 、実際にはAは「あるところから、それより小さいもの全部」と選ばないと駄である。 なぜならば、Aの選び方に隙間があると、そこの部分は必ずB に属さなければならず、「Bの元はAのすべての元より大きい」という条件に反するからである。 例えば限に長いロープを考えよう。 このロープの全体が、の全体である。 なぜこのをデデト「」と呼ぶかは、この例えでおおよそ理解して頂けると思う。 となると一の余地があるのが、したまさにその点がどこに行くか、である。 そこでロープにとても小さい点を書いて、そこを印にロープを切るとする。 点はとても小さいので、点が左右にっ二つになる事はない。 デデトの()によれば、この時、以下のどちらかが成り立つ。 といったが、以下の様に分かれる可性があるのではないだろうか? 側に最大元があり、B側にも最小元がある。 側に最大元がなく、B側にも最小元がない。 最大元、最小元が共にある? まず前提より、 「A」とAの全ての要素より大きい要素で構成された「B」とあるので、最大元=最小元となる事はない。 ところで、 「は稠密である」と言われる。 稠密とは「密集している」「ぎっしり詰まっている」という意味合いがあるのだが、これはどういう意味だろうか? 1と1. 1であるを考えればよい。 01、1. 012等… さらに間を狭めよう。 1と1. 000000も共にであり、間にがある。 同様にもっともっと間を狭めても、その間にがあるという事が分かる。 この様に考える事で、「との間にはまだまだ限にがある」という事が分かるだろう。 これががびっしり敷き詰まってる様を表し、は稠密であると言わしめる所以である。 以上の事を踏まえて最大元と最小元が共に存在する、となると「その間にある」がの全順序Rに含まれていない事に気付く。 ロープに例えると、点と点の2ヶ所でロープを切ると「その間のロープはどこに行ったの?」という話である。 」は成り立たない事が分かった。 最大元、最小元が共にない? 先にロープの例を出すと、点をまず1つ打ってそこでロープ切断した結果、「点がA側にもB側にもく、どこかへ行ってしまった」という事になるのだが、それはまず考えにくいという事を私達は知っている。 そして、的にこれを考えるのには少し頭をひねる必要がある。 例えばの全順序Qを先程と同様にデデキントカットしよう。 実はにおけるデデキントカットでは、「最大元と最小元がどちらも存在しない」は 成立する。 例えば、次のようなAとBを考えてみよう。 A: 2乗すると2未満になる正の、および0と負の B: 2乗すると2以上になる正の これはデデキントカットの条件を満たす取り方になっている。 にもかかわらず、最大元と最小元は存在しない。 なぜならば「2乗してちょうど2になる」は存在せず、A側としては1. 4,1. 、B側としては1. 5, 1,42, 1. のように、その2乗が2に近付くような列をいくらでも取る事ができるからである。 、私達は2乗するとちょうど2になる数が2であり、それがである事を知っている。 そして全順序Rはその様な数も含まれている事を知っている。 よって切断による数がになる様な事は決してない。 」がの全順序Rのデデキントカットでは起こり得ない事が分かった。 デデキントカットが数を定義する 以上から、デデキントカット A,B において「Aに最大限があり、Bに最小限がない」または「Aに最大限がなく、Bに最小限がある」のどちらかしか成り立たない事をめて確認した。 さらに、「デデキントカットをすると、最大元か最小元のどちらか一方が存在する」という事は「を切断する上で、1つの数が確定する」を表してる。 これは他のあらゆるでも適用でき、同様に1つのが数直線上で1つの点と1:1で対応している。 つまり、全てのが僅かな隙間なく並んでおり、数直線をどこかで切れば「何かの」に触れてしまう。 それはの連続性を示してる事に他ならない。 それがデデキントカットの考え方だ。 になるかもしれないが、先程までのロープは細かい所まで見ると例えとして不適切かもしれない。 何故ならロープは分子や原子まで見ると、確かに原子と原子の間に「隙間」があり、連続とは言えないのである。 最も相応しい例として、「日の変わり」がある。 例えば時間を A,B とデデキントカットした様に 日,1日 と切断したとしよう。 とすれば、切は時間はその日の変わりなのだが、0:00と捉えるか24:00と捉えるかでその間がどちらの日に含まれるかが変わってくる。 という発想ができる。 同様の事がどの間どの時間でも出来るので、時間というのは連続であり、あらゆる間で前と後に分ける事ができる。 この考え方はまさにデデキントカットだ。 また、デデキントカットで更なる問題を追及するのには欠かせない。 是非参考にしてほしい。 「は連続である」という今となっては当たり前のを、リヒャルド・デデトやは当時「って何だよ…」と者が頭を抱えてる時代に「論」としてまとめた。 筆者はこの「今」を作る多くの偉人に感している。 関連動画 関連商品 関連コミュニティ 関連項目•

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デデキント切断で考察すべき所

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実数の定義は意外に難しいものですが、デデキント切断という考えて定義できます。 有理数をデデキント切断することで、実数を構成することができます。 デデキント切断 デデキントカット dedekind cut とは 定義 全順序集合 S を二つの部分集合AとBにわける。 二つの部分集合の組 A,B が、• デデキント切断の性質 組 A,B をデデキント切断とするとき、集合AとBは次の性質を持ちます。 切断で考えられるのは下記の4パターン• Aに最大値がある & Bに最小値がある• Aに最大値がある & Bに最小値がない• Aに最大値がない & Bに最小値がある• Aに最大値がない & Bに最小値がない 有理数を切断して実数を構築する 全順序集合Sとして有理数を考えます。 これは全順序集合ですから、デデキントの切断が可能です。 有理数のデデキント切断を使って、実数を構築することができます。 このあたりの説明は探せばいくらでも容易にみつかるので、ここでは、その説明を割愛します。 ただ、表面だけの理解で終わってしまわないように、実数を構築した時のポイントをいくつか示しておきます。 なんのためにかと言うと、これらのポイントを良く観察することで、新しく数を作る時のノウハウが生まれるからです。 デデキント切断の内容を少し変更することで新しい数の体系を作ることのヒントが得られます。 内側から考えなければならない 実数というのがあまりにも身近に理解されるため、有理数を実数の部分集合として考えがちです。 それは間違いではないのですが、実数を作る段階においては、実数は未知の数であると考えておく必要があります。 ここでは、有理数を使って実数を構築するわけですから、数として使えるのは有理数だけです。 も参照してください。 演算も定義する 数の存在だけを示すのでは不十分です。 構築した数に演算が定義できるかどうかまで見極める必要があります。 つまり、二つのデデキント切断 A,B と C,D に対して、四則演算が定義できないのであれば、実数としては用を満たしません。 比較について もちろん、新しく構築した数同士が比較できるかどうかの見極めも必要です。 ただ、デデキント切断の場合は、全順序集合を相手にしているので明らかに示せることが多く、この部分に関して神経質になってもあまり得るものはありません。 新しく数を作る 有理数をAとBにデデキント切断すると、• Aに最大値がある & Bに最小値がない• Aに最大値がない & Bに最小値がある• Aに最大値がない & Bに最小値がない の3つの状態しかできません。 こんどは、実数をAとBデデキント切断すると、• Aに最大値がある & Bに最小値がない• Aに最大値がない & Bに最小値がある の2つの状態しかできません。 3番目の状態がなくなることが、実数の連続性と呼ばれる性質です。 ここまでは、まったくツッコミどころのない完成された理論となっています。 なぜこんな枯れた論理を持ち出すのか? デデキント切断は実に直感的で、すぐに納得するような発想です 実は実数に関わっているので結構奥深い。 シンプルでありながら抜け目のない定義です。 ですが、実数をさらに拡張したデデキント切断することは可能です。 つまり、Aの最大値、Bの最小値のない実数の切断を考えることは可能。 この前提で数を構築するために、このページが作られています。 実数を切断するので、いわゆる超実数の定義へと進むわけですが、切断で構築した超実数がどこまで数として耐えうるのかをこのサイトで検証していきます。 有理数を切断して実数を作ったように、実数を切断して超実数を作るわけですが、実はそう簡単に話はうまく進みません。 演算や比較ができるようにするために、一工夫必要になるからです。 参考サイト• ecc. u-tokyo. pdf)• PV数ランキング• 179,393pv 高校で習う微分と積分は、数学の中でもかなり高レベルな内容です。 言葉や公式は知っていても、なんか実感がわかないと思うのなら、 次の例えで微分と積分を考えてみ... 147,233pv 自然数 小学校で最初に学ぶ数が自然数です。 小学校で最初にどのような数を学んだのかというと、1、2、3、・・・とまずは10までなんども唱えて覚えたことと... 101,615pv よく数学を教えて欲しいという友達が言うことがあります。 簡単なものほど難しい。 63,384pv 素数とは何か? Wikipedeiaに2通りの素数定義があります。 どちらも意味は同じです。 素数(そすう、英: prime number)とは 定義そ... 52,001pv.

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初心者への誘(いざな)い ドラマティックな数学の世界 ~数A~

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「数学基礎論」は、数学の一分野の名称で、他にも、「数理論理学」とか、「logic」と呼ばれています(数学の基礎付けをする学問である、という誤解を招きやすいので、対外的には「数学基礎論」という言い方を避ける専門家も多いです)。 先に、少し大学数学について前置きしておきたいことがあります。 そんなのわかってる、ということでしたら、すみません、飛ばしてください。 ということでしたが・・・。 まず、大学数学では、論理演算をして同値な命題に変形してから証明を行うことは、どの分野においてもきわめて当たり前に自然に断りなくすることなのです(もっと言うと、それが論理演算だとすら意識されません)。 だから、質問者さんの「力」は特定の分野において特に力が発揮しやすいというわけではないと思います。 しかし、数学をする上での一つの基本的な力を確実に身につけているわけですから、どんな分野でも役立つのはたしかです。 自分が興味を持って知りたい(考えたい)対象が、数や幾何などであって、論理演算などはその道具に過ぎないのでしたら、数理論理学は少し期待はずれかもしれません。 論理的に正しい変形、導出、というのがある種の計算のように出来てしまう不思議、などなど、論理規則そのものを調べたいという興味がわいてきたら、数理論理学の出番かもしれません。 (とはいえ、このような興味はもうだいぶ古い古典的なことで、現代の数理論理学は、集合論、再帰理論、モデル理論、証明論、非古典論理、部分構造論理、逆数学…など、数学の一分野として大きく成長しています。 詳しくはぐぐってみてください。 先生の専門によって、授業もぜんぜん変わってしまいます) とはいえ、数学基礎論は、数学の一分野としては日本ではまだまだマイナーなので、数学科にいる先生が非常に少ない。 先生がいない数学科に行くと授業で数学基礎論関係がでてくる可能性はほぼ0です。 逆に、数理論理学はコンピュータサイエンスと関連が深く、情報工学は時代の要請とともに大きな需要を獲得していますから、工学系で計算機とのかかわりを調べている先生はたくさんいます。 しかし数学が好きなのでしたら、工学系に進むのは慎重に考えるべきです。 以下に参考までに、(どちらかというと?数学の一分野として)数学基礎論を研究している先生がいる代表的な大学を書いておきます。 一覧に偏見や間違いがあることはあらかじめ断っておきます。 北から 東北大学数学科・・・数学基礎論研究室所属の学生数は随一の多さを誇ります。 ただし、先生方の専門は逆数学。 数学基礎論の中でもさらにマイナー 筑波大学数学科・・・モデル理論で有名 千葉大学数学科・・・証明論の大家がいます。 東京工業大学工学・・・非古典論理の先生がいます。 名古屋大学のなんとかかんとか・・・少し前までは集合論の先生がたくさんおられました。 最近は知りません。 京都大学数理解析研究所・・・先生方は基本的に計算機が専門だが、照井先生という方がlogicに造詣が深いらしい? 神戸大学工学部・・・今、もっともいろんな分野の先生が充実している。 しかし、工学部所属なので、学生としてはどうしたものか・・・修士課程などで選択肢に考えるのならばそんなに悪くはないのですが。 情報が古いですが、下にはっつけたリンクも参考にしてください。 他にも探せばチラホラ出てきます。 探し方としては、先生のHPからがんばってリンクをたどるか、「集合論 研究集会」などで検索してヒットした集会のプログラムに掲載されている名前、所属をチェックすればいいかも・・・ 先生がいても授業があるとは限りませんので、シラバスなどをチェックするか、直接教授にメールを出してみるとよいかもしれません。 では、いずれにせよ、数学を楽しんでください。 参考URL: 質問者さんが「数々の難問に挑戦するときに必ず論理演算をして同値な命題をたくさんつくって問題を解くという癖」に目覚めたのは、まさか、高校の教科書で、ではありませんよね。 それだと、何か勘違いがあるかも おそらく、何か、専門的入門書や、発展的な一般向き数学書を読んだ結果だと思いますが、それならば… 気に入った本の著者の所属大学の数学科のサイトなどで、どんな研究がされているのか、調べてみる、大学のサイトの中や、外部に、個人のページを持っていて、そういう希望や質問のメールや掲示板の書き込み歓迎、の方もおられるので、その場合は、直接、聞いてみるとか、出版社に、礼儀を尽くして、ファンレター兼ねた手紙を書けば、取り次いでもらえて、返事がもらえるかもしれません。 そうやってアタリをつけた大学の、オープンキャンパスに行ってみるのは、もっといい手かもしれません。 万が一、数学基礎論について、誤解があったときにも、直接直してもらえますし、そうでなくても、院生・学部学生から、直接話を聞くのは、勉強になることが多いと思います。 その手の本なら、ちゃんとついている、参考文献リストも、実際読んで、同じようなことをやってみるのもいいかもしれませんし、きっかけが、「数学セミナー」や「理系への数学」の掲載記事だったり、どっかのサイトの解説だったりした場合も、同じこと試す価値はあります。 A ベストアンサー ANo. 3へのコメントについて。 というのは、求めるべきはガチな専門書であり、そんなものを読む物好きは少なく、ゆえに発行部数も少なく、つまり、安い本であるはずがない。 ケチってる場合じゃないですよ。 「公理論的集合論」、「数学基礎論」、「数学の基礎」あたりで調べてみれば良いでしょう。 新興分野というわけじゃないんで、数十年前の著書でも全然オッケー。 復刻版は名著の証拠ですから、要チェック。 ところで、数学基礎論を専門にしようと言うのなら、一冊読みましたでは話にならず、色々読み比べないとね。 むしろ初期の未整理状態における概念の発達を勉強するために130年ぐらい前まで遡りたい。 Q 大学で学ぶ数学の勉強の仕方に迷っています。 高校数学は、大学入試の問題が解けることがゴールだと思っていました。 しかし、大学の数学は、何ができればゴールなのでしょうか? 2 高校では、公式を覚え、問題を解いてました。 大学の数学では定理、定義、命題、補題など、公式らしきものの量が多いですよね?全て覚えようとしたら相当な暗記量を強いられます。 これらは全て暗記、または自力で導き出せるようにする必要があるのでしょうか? 3 定理などは全て証明がついていますが、これらの証明を全て自力でできるようにならなければならないのでしょうか?? 今、微積分、線形代数、集合論、ルベーグ積分などを勉強しています。 今僕がやっている方法は、教科書の定理、定義などを暗記し、証明はわかるところだけ読んでいます。 問題演習は、やったりやらなかったりです。 しかし、この方法だと、定理などの証明が理解できないことが多く、なかなか先に進みません… 以上が、勉強していく上での疑問です。 どなたかアドバイスいただければ幸いです。 大学で学ぶ数学の勉強の仕方に迷っています。 高校数学は、大学入試の問題が解けることがゴールだと思っていました。 しかし、大学の数学は、何ができればゴールなのでしょうか? 2 高校では、公式を覚え、問題を解いてました。 大学の数学では定理、定義、命題、補題など、公式らしきものの量が多いですよね?全て覚えようとしたら相当な暗記量を強いられます。 これらは全て暗記、または自力で導き出せるようにする必要があるのでし... A ベストアンサー 大学での学び方に関する本は何冊も出版されていますから、図書館で探されてはいかがでしょう。 amazon. amazon. amazon. また、日本評論社の『数学セミナー』、サイエンス社の『数理科学』、現代数学社の『理系への数学』といった理系の大学生向けの数学雑誌が大学図書館に入っていないわけはないと思いますし、時期的に勉強の仕方を扱った記事も載っていると思いますから、少し時間を作って、バックナンバー含め眺められてはいかがでしょうか。 大学での学び方に関する本は何冊も出版されていますから、図書館で探されてはいかがでしょう。 amazon. amazon. amazon. Q はじめて、投稿します。 よろしくお願いします。 私の数学のレベルは、高校卒業ぐらいです。 大学1-2年レベルから始めたいと思っています。 目標は、数学の厳密な基礎概念に基づいた数学体系全般・数学的方法全般の習得においています。 今、高校以上の数学書で所蔵しているのは、『微分積分概論』(越昭三監修/高橋泰嗣・加藤幹雄共著) 『数学小事典』(矢野健太郎編) 『数学英和・和英辞典』(小松勇作編) 自分なりに、数学書を本屋などで見たのですが、素人ですので、どれも大同に思えてしまいます。 そこで、最初に読むべき名著だという数学書は、ないでしょうか? また、『教えて!goo』で以前の投稿を閲読したのですが、最初は「集合論」あるいは「数学基礎論」あるいは「実数論」と人によって見解が分かれていて、どの分野から手をつけるべきか迷っています。 よろしくお願いします。 私の数学のレベルは、高校卒業ぐらいです。 大学1-2年レベルから始めたいと思っています。 目標は、数学の厳密な基礎概念に基づいた数学体系全般・数学的方法全般の習得においています。 今、高校以上の数学書で所蔵しているのは、『微分積分概論』(越昭三監修/高橋泰嗣・加藤幹雄共著) 『数学小事典』(矢野健太郎編) 『数学英和・和英辞典』(小松勇作編) 自分なりに、数学書を本屋などで見たのですが、素人ですので、どれも大同に思えてし... A ベストアンサー pythagoras さんの勉学への意欲に敬意を表します。 まずは微分積分と平行して、線型代数を学習されることをお勧めします。 教科書は、 齋藤正彦著「線型代数入門」基礎数学1・東京大学出版会 が一般的だと思います。 これより高度な内容を扱ったものには、 佐竹一郎著「線型代数学」数学選書1・裳華房(しょうかぼう) があります。 線型代数で公理的な扱い方に慣れ、その有用性がわかっていないと、集合論・位相空間論へ進んでいくのは難しいと思います。 とりあえず線型空間の公理系までを目標にしてはどうでしょうか。 微分積分では#1の方が勧めておられる「解析概論」が定番でしたが、最近では、 杉浦光夫著「解析入門I」基礎数学2・東京大学出版会 の評判もよいようです。 実数論は、微分積分の基礎( foundation の意味であって、決して易しくはありません)として「解析概論」「解析入門I」ともに第1章が当てられています。 微分積分では、積分の厳密な定義、無限級数あたりがとりあえずの目標になるでしょう。 そのあたりまでこなせば、複素関数論へ入っていくこともできるかと思います。 群論などの代数学、位相幾何学は、集合論・位相空間論が済んでいないとムリだと思います。 他の分野も同様ですので、とりあえずは以上のようなところから始められてはいかがでしょう。 pythagoras さんの勉学への意欲に敬意を表します。 まずは微分積分と平行して、線型代数を学習されることをお勧めします。 教科書は、 齋藤正彦著「線型代数入門」基礎数学1・東京大学出版会 が一般的だと思います。 これより高度な内容を扱ったものには、 佐竹一郎著「線型代数学」数学選書1・裳華房(しょうかぼう) があります。 線型代数で公理的な扱い方に慣れ、その有用性がわかっていないと、集合論・位相空間論へ進んでいくのは難しいと思います。 とりあえず線型空間の公理系... A ベストアンサー 基礎数学にせよ応用数学にせよ、その気になれば就職口はあります。 知り合いの後輩で、今年度ソニーに就職した人がいます。 大学院時代の専攻は符号理論で、楕円暗号の研究をしていたとか。 他、大規模科学計算の必要なところなら、電子回路の設計にせよ、大規模な統計処理にせよ、プラント設計におけるモデリングにせよ、いろいろと仕事はあります。 1 さんの仰るような金融商品のデザインや、株価動向の解析(いわゆる経済数学、経営工学など)といった仕事もあります。 それらの経験を通じて、やがて大学に戻るというキャリアを積む人もいますよ。 中には趣味レベルながら内容的には高水準の基礎数学の研究を続けている人だって居ます。 大学等で数学の研究職に拘って生きている人は極めて稀ですが、数学に触れ続けるだけなら数学科卒でなくてさえ可能だと思います。 就職する人だって、挫折して研究者の途を諦めた人ばかりではありません(再受験などを経て、別の分野で研究職を目指す人もいるくらいですし)。 A ベストアンサー 数学科の人や数学者がフーリエ解析や偏微分方程式などの計算(積分や微分や級数などの解析的なある意味単純な計算と解釈します)が苦手と一般的に言われていてそういうイメージが定着してるかもしれませんがそういった計算がものすごく速い専門家のためにフォローしておきます。 はっきり言えば分野によりますね。 色々な評価(不等式を使うもの)を複雑に絡めて扱うような分野(たとえば偏微分方程式、解析数論など)では「慣れ」があるので理論の流れの中では一々計算せずに暗算で大体済ますことがよくあります。 フーリエ級数展開やそれに伴った内積の計算、オーダーの比較など(足し算、掛け算、のように明らかに初等的計算)すべて頭の中でおおよそ計算します。 最終的な結果を早く知りたいという強い思いから必然的に素早く頭で計算しているという感覚です。 特に数論においては簡単に計算するためのポイントを素早く掴む人が多い印象があります。 一方トポロジー関係の専門家は確かに「慣れ」が無いために早い計算は出来ないようです。 必要としていないからです。 結局誰でも必要にかられて「慣れ」れば早く計算できるようになると思います。 数学科の人や数学者がフーリエ解析や偏微分方程式などの計算(積分や微分や級数などの解析的なある意味単純な計算と解釈します)が苦手と一般的に言われていてそういうイメージが定着してるかもしれませんがそういった計算がものすごく速い専門家のためにフォローしておきます。 はっきり言えば分野によりますね。 色々な評価(不等式を使うもの)を複雑に絡めて扱うような分野(たとえば偏微分方程式、解析数論など)では「慣れ」があるので理論の流れの中では一々計算せずに暗算で大体済ますことがよくあります。... A ベストアンサー 共立出版「Q&A 数学基礎論入門」久馬栄道著、図書館でさがしてみてください。 「カントール対角線論法」は、集合論の本にでています。 「デデキント・カット」は、実数論、微分積分 解析学 の基礎で学習します。 実数論は、無限と連続、極限、収束など、実数の性質の位相的 近い、遠い、距離 な性質を研究します。 「四則の厳密な定義」は、中学校の数学の教科書に書いてあるくらいで、それ以上のことは、「代数」「代数学」という本をさがしてみてください。 岩波数学辞典は、手元にあると便利ですね。 ないと不便だ。 seibunshinsha. html 「算数・数学なぜなぜ事典」なども調べてみてください。 自分でこうした本を読めるのなら、今後も数学的な困難は何とかなると思う。 ただ、質問者には「自分で未知の分野に挑むための、準備をする能力」が足りないと感じる。 大学の教養課程までの、勉強としての数学には、準備をする能力は不用である。 なぜなら、やるべきことはすでに決まっていて、学生はそれに沿って学習を進めればよいだけだからだ。 しかし、学部に所属し専門課程に入ると、自分のやりたい分野・興味のある分野に関連した情報を、自分自身で集める能力も同じくらい必要になる。 それがないから、ここで質問することになるわけである。 今回は私が回答するが、次回以降、より専門的な質問には回答できる人がいなくなるかもしれない。 だから、そうした疑問を自分自身で解決できるような能力を鍛えておくべきだと思う。 とは言え、情報収集は別に難しいことではない。 理学部に数学科があるのなら、そこ(か大学院の数学研究科みたいなところ)に教授や助教授・助手(准教授)も在籍しているだろう。 その中で、自分の興味のある分野に近い分野の研究をしている方にメールしたり、研究室を訪問したりして、どのような準備が必要か、相談するのがよいのではないだろうか。 1年生の内は、知識の少なさや研究の作法みたいなものに不慣れなことから、敷居を高く感じてしまうかもしれない。 しかし、その程度のことで失礼を感じて怒ってしまうほど、先生方は怖くはない。 勇んで質問に行こう。 絶対に損はしない。 では本題を。 数論幾何学のために次に知るべきなのは、代数学(特に環論)、および幾何学(ユークリッド幾何学ではなく非ユークリッド幾何学、多様体論というもの)だろう。 代数学は、最近でも良い教科書が何冊でも出版されているので、私の古い知識からお奨めを挙げるのはやめておく。 本屋で手に採って探すなり、3年生以降がどのようなテキストを授業に使っているかシラバスで調べるなりして見つけて欲しい。 多様体論は、「曲線と曲面の微分幾何」(小林昭七)が今も初学者の定番のようだ。 もちろん、他に良い本があると聞いたのならそちらでも良い。 これらの勉強が終わったら、それ以降の勉強に関する質問はこのサイトの回答者の手には余るだろう。 そうなるまでに、良い相談相手の先生を探しておくのが良い。 あと外国語だが、英語が英検2級に受かる程度の実力なら、学部の内は困らない。 ただ、将来研究者になって、海外の研究者と話せるようになっておくための勉強を、英語サークルなどで進めておくのも良いと思う。 なお、第2外国語は、結局要らなかった気がする。 自分でこうした本を読めるのなら、今後も数学的な困難は何とかなると思う。 ただ、質問者には「自分で未知の分野に挑むための、準備をする能力」が足りないと感じる。 大学の教養課程までの、勉強としての数学には、準備をする能力は不用である。 なぜなら、やるべきことはすでに決まっていて、学生はそれに沿って学習を進めればよいだけだからだ。 しかし、学部に所属し専門課程に入ると、... A ベストアンサー 補足しておきます。 また、連続体仮説を前提にすると、そこから導かれる結果の多くが連続体仮説と同値になることが知られていて、数学的に薄っぺらな理論になってしまいます。 そんなわけで、研究対象としてみるならアレフ2にしたいと考える人が多いわけです。 数学は無矛盾ならどんな公理を選んでも構わないというタテマエはありますが、実際には人間が社会生活の中で行う営みの一つですから、研究の方向がある程度見える対象で、なおかつ面白く数学的に豊かなものを選びたいと思うのはある意味当然なのではないかと思います。 Q 自分はw稲田大学の文学科に通っているものです。 将来哲学の研究をしていきたいと思っています。 自分としては東京大学大学院総合文化研究科に進学したいと考えています。 理由は、色々と大学院を検索した結果、指導をしていただきたい現代哲学専攻の教授がそこの研究科にいらっしゃるからです。 自分は院試までにはもうちょっと期間があるのですが、東大院入試は東大受験よりも比較的簡単というのは本当でしょうか。 というのは下記のホームページでは他大学受験の倍率は約5倍だからです 大学受験の倍率は約3倍。 数字だけをみると大学受験よりも門は閉ざされているような気がします。 色々と調べてみて もちろんok web内も 、院の研究室に通って問題傾向を把握することができたら内部生との差も大きく縮まる もちろんこれは東大院に限らない ということはわかりました。 また東大院は他大学生に対して門戸を開いている大学院である、ということも。 しかしこれだけが難易度が低い理由ではないと ただの推測ですが 思っています。 私と同じ立場での東大院入学者、またはこれらの数字が示す本当の意味や実際の事情について知っていらっしゃる方がいましたらぜひ教えてください。 u-tokyo. html 自分はw稲田大学の文学科に通っているものです。 将来哲学の研究をしていきたいと思っています。 自分としては東京大学大学院総合文化研究科に進学したいと考えています。 理由は、色々と大学院を検索した結果、指導をしていただきたい現代哲学専攻の教授がそこの研究科にいらっしゃるからです。 自分は院試までにはもうちょっと期間があるのですが、東大院入試は東大受験よりも比較的簡単というのは本当でしょうか。 というのは下記のホームページでは他大学受験の倍率は約5倍だからです 大学受験の倍率は約3倍...

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