ベクトル 成分 表示。 ベクトルの成分表示を使いこなす!斜方投射と微積分その3

ベクトルの成分表示をわかりやすく解説!その意味と足し算,引き算

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ベクトルで直線を表せるのか ベクトルは点を表すことができるということを以下の記事で示しました。 記事リンク ということは 2つの点を通る直線を表すことも可能なのではないでしょうか。 それが直線のベクトル方程式というものです。 簡単に言うと ベクトルで直線を書こうと思うとこんな考え方になります ということを言っています。 ですが間違ってはいけないことが一つあります。 それは 成分表示すれば私たちの知っている直線の方程式が出てくる ことです。 要するにベクトルだけに通用するものではなく、かなり 一般的な概念であることを意味しています。 これができるから数学は面白いのです。 では、やることがわかったところで早速作ってみましょう。 まず 2つの点 A、 Bを用意します。 この 2つの点を通る直線は次のようになりますね。 この直線をベクトルで表すにはどうしたら良いか、それは 直線上の点を位置ベクトルで表す ことをすればよいです。 要するに ある始点からベクトルを考えた時に、 その終点が直線上の点を表すような式を考えれば、その点の集まりが直線になります。 図で言うと次のように 直線 AB上の点 Pを表す位置ベクトルを示せば、その 点 Pが直線を表す式になっているのです。 難しく聞こえるかもしれませんがやることは単純です。 直線上にある点は必ずこのようにかけたはず。 新しいことは何もありません。 ではこれを 点 Pということがわかる形に変形してみましょう。 始点を決めて Oにしましょう その始点からみます。 もちろんこんな風に線分ABの外側に点Pがあっても同じ式になるので大丈夫です。 方程式が無事たちましたのでこれで終わりでもいいのですが、ほんとにこれが直線なの?!と思いたくなるので確認してみます。 まずはこれを位置ベクトルで書いてみましょう。 ではこれを成分表示してみます。 図で言うとこんな直線の式が出てきてくれるはずですね。 では先程のベクトルでの直線の式に代入してみましょう。 イメージはこんな感じ。 安心ですね。 まとめ 今回はベクトルを使って直線の方程式を表しました。 まずはどのようにその直線を定義するのかに慣れることが大事です。 また、出てきた式は何も新しいものではなく、今までの直線の方程式の別の表記の仕方であることもお忘れなく。 全く新しい概念ではないのでしっかりと意味を考え、自分のものにしてください。 ではまた。

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【基本】ベクトルの内積と成分

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ベクトルの成分の導入 などで見てきた通り、ベクトルは、「どちらの向きか」「どのくらいの長さか」で表されます。 これは AB の長さのことです。 一方、 向きはどのように表せばいいでしょうか。 上とか左とかならいいですが、右下などといわれても、向きはいろいろありますよね。 そこで、ベクトルの向きを表す方法として、「成分」というものを使います。 内容は単純で、単に、上下方向と左右方向に分けて表現するだけです。 例えば、「右に3、下に2の向き」などといった感じです。 ただ、ここで、少しひっかかる人もいるかもしれません。 では、ベクトルは「斜めの軸を使えばいい」という新しい発想が使えたはずなのに、結局、縦と横の軸を使うのか、と。 しかし、「斜めの軸が使えること」と「向きを表現するために縦横の軸を使うこと」は、何も矛盾しません。 これは、「斜めの軸の世界」を「縦横の軸の世界」と関連付けることができることを表しており、むしろ、「ベクトルの世界と座標の世界を行き来できる」というメリットのある話なんですね。 具体的にどういったメリットがあるかは、これからいろいろ学んでいきながら実感できると思います。 単位ベクトル まず、ベクトルの成分の話をする前に、単位ベクトルの話をします。 目盛りから、右に3, 下に2の向きであることがわかりますね。 さらに、ベクトルを次のようにも書きます。 座標みたいな書き方ですが、 座標とは違う点に注意してください。 これはベクトルの場所を表しているのではなく、ベクトルの向きと大きさを表しています。 例えば、下の図を見てみましょう。 場所を表す座標とは違う、ということをおさえておきましょう。 このことからもわかる通り、 ベクトルが等しいということは、ベクトルの成分が等しいということと同値です。

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平面ベクトルの要点

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定義0. 1 n個の Kの元を縦に並べたものを n次列ベクトルとよび、次のように括弧でかこんだ中にn個の縦に並べた Kの元を書く。 定義0. 相等関係 [ ] 定義0. 定義0. 定理0. 定義0. 定理0. まずは、二次元空間上の直線を、助変数を用いて現すことを考える。 成分を用いた式を見れば、この表示によって直線が表されることの妥当性が理解しやすいだろう。 上に挙げた式を直線の助変数表示またはベクトル表示という。 また、 aをこの直線の方向ベクトルという。 方向ベクトルはこの直線と平行なベクトルである。 もちろん助変数表示の仕方は一つではないが、方向ベクトルはノルム1のものを選ぶと便利な事も多い。 5 2. 直線は2つの平行でない平面の共通部分として表される。 この式が表す直線をベクトル表示することを考えよう。 この式は、形式的にはxをtと置き換えることで、下のように書ける。 これを平面の助変数表示という。 まとめ [ ] 1. これを証明せよ。 これを証明せよ。 この aをこの直線の 法線ベクトル(normal vector)という。 平面内の1点Pから直線lへ垂線を下ろし、足をP'とする。 この垂線の長さを求めよう。 pをPの位置ベクトル、 x 0をP'の位置ベクトルとすると、垂線の長さは p- x 0 で与えられる。 まずは x 0を他のベクトルを用いて表そう。 あとは自分自身との内積を計算するだけである。 空間内の直線についても、同じ事である。 演習 1. 空間内の平面の場合についても同様に考えられる。 この時 aをF 0の法線ベクトルと言う。 さて、F上に無い点Pから、Fに垂線を下ろす。 垂線の足をP'とする。 x 0:Pの位置ベクトル, x' 0:P'の位置ベクトル とするとき、 x 0- x' 0 を求めよ。 外積 [ ] 二次の行列式 [ ] 定義 7. 次の性質は簡単に証明できる。 平行四辺形の面積 [ ] 関係ないと思うかもしれないが、外積の定義に必要な情報である。 aと bの張る平行四辺形の面積を求める。 これを証明せよ。 外積 [ ] 内積が有るなら外積もあるのでは?と思った読者待望の部ではないだろうか。 (余談) 定義 7. i a, bと直交する。 ii a, bは線形独立 iii a, b, cは右手系をなす。 iv c が平行四辺形の面積 ここで、右手系とは、R 3の単位ベクトル e 1〜3が各々右手の親指、人差指、中指の上にある三次元座標系のことである。 定理 7. 2 証明 三段構成でいく。 i cと、 aと bと直交することを示す。 ii c が平行四辺形の面積Sであることをを証明。 iii c, a, bが、右手座標系であることを証明。 i は計算するだけなので演習とする。 2 は両辺とも e 3である。 e 1, e 2を、線形独立性を崩さずに移すと、 a, b, cは右手系のまま移る。 # 外積に関して、次の性質が成り立つ。 二次の時と同様、• a, b, cのどれか二つの順序を交換すればdet a, b, c の符号は変わる。 絶対値は変わらない。 例題 次の二直線は捩れの位置(同一平面上にない関係 にある。 4 7. 3 , 7. 4 をt,sに関する連立一次方程式だと考えると、この方程式は、ちょうど一つの解の組 t 0,s 0 が存在する。 この線分P 0Q 0の長さは、l,l'間の最短距離である。 多面体Pの二頂点を結ぶ線分上の全ての点がやはりPに含まれる時、Pは凸多面体と呼ばれる。 これを示せ。 このページで述べるベクトルの代数学的説明はここまでである。 このまま、代数学の学習を続けたい読者は次に、を読まれる事を勧める。 今までの内容と、密接に関係している。 もし、ベクトルの解析的扱いについて学習したい場合は、このページの次の章に進まれるとよい。 参考文献:東京大学出版会 『基礎数学1 線型代数入門』齊藤正彦著 ベクトル関数 [ ] 補足 [ ] 線型代数学でいう「空間」や「次元」は、物理的な意味の「空間」や「次元」のうち、一部の性質だけを取り出して定義した抽象的な概念である。 したがって、大枠では類似しているが、物理的なイメージばかりを気にしすぎると細部の印象が異なることがある。 たとえば、物理においてしばしば「空間3次元、時間1次元、合わせて4次元の線型空間である時空」を考えるが、数学的な意味での4次元線型空間は空間と時間という意味合いを持ってはおらず、単に一次独立なベクトルが4本取れるというだけの意味である。 4次元線型空間の中でさらに特殊な性質を仮定したものを「ミンコフスキー空間」といい、これはただの4次元線型空間よりもより4次元時空の性質を反映したモデルだが、それでも数学的なモデルに過ぎないことに変わりはない。 一般に数学的な概念は、その定義を作る際には物理などのイメージを元に概念を作ることが多いが、ひとたび定義されたあとはそのイメージから離れて定義のみを基に議論を進めることができる。 これが数学を発展させる原動力であり、また数学が汎用的に役に立つ理由である。 しかし、数学の持つこのような特性は、初学者にとってはわかりにくく感じられるだろう。 以上で述べたことは線型代数学に限った話ではないが、抽象的な数学理論に初めて本格的に触れるのが線型代数学という学生も多いだろうから、ここで述べておく。

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